2016年高考理科数学全国新课标Ⅱ卷答案及解析

发布于:2021-07-30 18:55:37

2016 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ)

理科数学

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的.

1. 已知 z ? (m ? 3) ? (m ?1)i 在复*面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是

(A) ??3,1?

(B) ??1,3?

(C) ?1 , +??

(D) ?-? ,? 3?

2. 已知集合 A ? {1, 2 ,3} , B ? {x | (x ?1)(x ? 2) ? 0,x ?Z} ,则 A B ?

(A) ?1?

(B) {1,2}

(C)?0 ,1,2 ,3?

(D) {?1,0 ,1,2 ,3}

3. 已知向量 a ? (1, m) ,b=(3, ?2) ,且 (a ? b) ? b ,则 m=

(A) ?8

(B) ?6

(C)6

(D)8

4. 圆 x2 ? y2 ? 2x ? 8y ?13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ?1 ? 0 的距离为 1,则 a=

(A) ? 4 3

(B) ? 3 4

(C) 3 (D)2

5. 如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动,则

小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 (A)24 (B)18 (C)12 (D)9 6. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
1

(A)20π (B)24π (C)28π (D)32π

7. 若将函数 y=2sin 2x 的图像向左*移 π 个单位长度,则*移后图象的对称轴为 12

(A) x ? kπ ? π ?k ?Z? (B) x ? kπ ? π ?k ?Z?

26

26

(C) x ? kπ ? π ?k ? Z? (D) x ? kπ ? π ?k ? Z?

2 12

2 12

8. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该

程序框图,若输入的 x ? 2 , n ? 2 ,依次输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s ?

(A)7 (B)12 (C)17 ( D)34

9.



cos

? ??

π 4

?

?

? ??

?

3 5

,则

sin

2?

=

(A) 7 25

(B) 1 5

(C) ? 1 5

(D) ? 7 25

10. 从区间 ?0 , 1? 随机抽取 2n 个数 x1 , x2 ,…, xn , y1 , y2 ,…, yn ,构成 n 个数

对 ? x1, y1 ? , ? x2, y2 ? ,…, ? xn , yn ? ,其中两数的*方和小于 1 的数对共有 m 个,

则用随机模拟的方法得到的圆周率 ? 的*似值为

(A) 4n m

(B) 2n m

(C) 4m (D) 2m

n

n

11.

已知

F1 , F2

是双曲线

E: x2 a2

?

y2 b2

? 1 的左,右焦点,点

M在

E 上, MF1 与

x

轴垂直,sin ?MF2F1

?

1 3

,则 E

的离心率为

(A) 2

(B) 3 2

(C) 3

(D)2

12. 已知函数 f ? x?? x ? R? 满足 f ??x? ? 2 ? f ? x? ,若函数 y ? x ?1 与 y ? f ? x? 图像的交点
x

m
为 ? x1 ,y1 ? , ? x2 ,y2 ? ,?, ? xm ,ym ? ,则 ?? xi ? yi ? ? ( ) i ?1

(A)0

(B)m

(C)2m

(D)4m

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22~24 题为选考题。

考生根据要求作答。

二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分。

13. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A ? 4 , cosC ? 5 , a ?1,则 b ?



5

13

2

14. ? , ? 是两个*面,m,n 是两条线,有下列四个命题: ①如果 m ? n , m ? ? , n∥? ,那么? ? ? .

②如果 m ? ? , n∥? ,那么 m ? n . ③如果 a∥? , m ? ? ,那么 m∥? .

④如果 m∥n ,?∥? ,那么 m 与? 所成的角和 n 与 ? 所成的角相等.

其中正确的命题有

.(填写所有正确命题的编号)

15. 有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我

与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我

的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字是

16. 若直线 y ? kx ? b 是曲线 y ? ln x ? 2 的切线,也是曲线 y ? ln ? x ?1? 的切线, b ?



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分)
Sn 为等差数列?an? 的前 n 项和,且 a1 ? 1 , S7 ? 28 .记 bn ? ?lg an ? ,其中? x? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?0.9? ? 0 , ?lg 99? ? 1.

(Ⅰ)求 b1 , b11 , b101 ;
(Ⅱ)求数列?bn? 的前1 000 项和.
18. (本小题满分 12 分)

某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年

度出险次数的关联如下:

上年度出险次数

0

1

2

3

4

保费

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

一年内出险次数

0

1

2

3

4

概率

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05

(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;

(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60% 的概率;

(Ⅲ)求续保人本年度的*均保费与基本保费的比值.

19. (本小题满分 12 分)

3

如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB ? 5 ,AC ? 6 ,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE ? CF ? 5 , 4
EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△ D?EF 的位置 OD? ? 10 . (I)证明: D?H ? *面 ABCD; (II)求二面角 B ? D?A ? C 的正弦值. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E: x2 ? y2 ? 1 的焦点在 x 轴上,A 是 E 的左顶点,斜率为 k(k ? 0) 的直线交 E 于 A,M 两点,点 N
t3 在 E 上,MA⊥NA.

(I)当 t ? 4 , AM ? AN 时,求△AMN 的面积; (II)当 2 AM ? AN 时,求 k 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)

(I)讨论函数 f (x) ? x ? 2 ex 的单调性,并证明当 x ? 0 时, (x ? 2)ex ? x ? 2 ? 0; x?2

(II)证明:当 a ?[0,1)

时,函数

g

?x?=

ex

? ax x2

?

a

(x

?

0)

有最小值.设 g ? x? 的最小值为 h(a) ,求函数 h(a) 的

值域.

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,在正方形 ABCD,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合),且 DE=DG,过 D 点作 DF⊥CE,垂足为

F. (I) 证明:B,C,G,F 四点共圆; (II)若 AB ?1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

在直线坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 ? x ? 6?2 ? y2 ? 25 .

(I)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;

(II)直线

l

的参数方程是

?x

? ?

y

? ?

t t

cos? sin ?

(t

为参数),l 与

C

交于

A、B 两点,

AB

?

10 ,求 l 的斜率.

24. (本小题满分 10 分),选修 4—5:不等式选讲

已知函数 f ? x? ? x ? 1 ? x ? 1 ,M 为不等式 f ? x? ? 2 的解集.

2

2

4

(I)求 M;

(II)证明:当 a, b?M 时, a ? b ? 1? ab .

2016 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学答案及解析
1. 【解析】A ∴ m ? 3 ? 0 , m ?1? 0 ,∴ ?3 ? m ?1,故选 A. 2. 【解析】C
? ? B ? x ?x ?1??x ? 2? ? 0,x?Z ? ?x ?1 ? x ? 2,x ? Z? ,
∴ B ? ?0,1? ,∴ A B ? ?0,1,2,3? ,
故选 C. 3. 【解析】D
a ? b ? ?4,m ? 2? ,
∵ (a ? b) ? b ,∴ (a ? b) ? b ? 12 ? 2(m ? 2) ? 0 解得 m ? 8 , 故选 D. 4. 【解析】A
圆 x2 ? y2 ? 2x ? 8y ?13 ? 0 化为标准方程为: ? x ?1?2 ? ? y ? 4?2 ? 4 ,

故圆心为 ?1,4? , d ? a ? 4 ?1 ? 1,解得 a ? ? 4 ,

a2 ?1

3

故选 A.

5. 【解析】B

E ? F 有 6 种走法, F ?G 有 3 种走法,由乘法原理知,共 6?3 ?18 种走法

故选 B.

6. 【解析】C

几何体是圆锥与圆柱的组合体,

设圆柱底面圆半径为 r ,周长为 c ,圆锥母线长为 l ,圆柱高为 h .

? ?2
由图得 r ? 2, c ? 2πr ? 4π ,由勾股定理得: l ? 22 ? 2 3 ? 4 ,

S表

?

πr 2

? ch ?

1 cl 2

? 4π ?16π ? 8π

? 28π ,

故选 C.

7. 【解析】B

*移后图像表达式为

y

?

2

sin

2 ???

x

?

π 12

? ??



5



2 ???

x

?

π 12

? ??

?



+

π 2

,得对称轴方程:

x

?

kπ 2

?

π 6

?

k

?

Z?



故选 B.

8. 【解析】C

第一次运算: s ? 0? 2 ? 2 ? 2,

第二次运算: s ? 2? 2 ? 2 ? 6,

第三次运算: s ? 6? 2 ? 5 ?17 ,

故选 C.

9. 【解析】D



cos

? ??

? 4

??

? ??

?

3 5

, sin 2?

?

cos

? ??

π 2

?

2?

? ??

?

2 cos2

? ??

π 4

??

? ??

?1?

7 25



故选 D.

10. 【解析】C

由题意得: ? xi ,yi ??i ? 1,2 ,???,n? 在如图所示方格中,而*方和小于 1 的点均在
如图所示的阴影中

由几何概型概率计算公式知

π
4 1

?

m n

,∴

π

?

4m n

,故选

C.

11. 【解析】A

22

离心率 e ?

F1F2 MF2 ? MF1

,由正弦定理得 e ?

F1F2 MF2 ? MF1

?

sin M sin F1 ? sin F2

?

1

3 ?

1

?

2.

3

故选 A.

12. 【解析】B
由 f ? x? ? 2 ? f ? x? 得 f ? x? 关于 ?0 ,1? 对称,

而 y ? x ?1 ?1? 1 也关于 ?0 ,1? 对称,

x

x

∴对于每一组对称点 xi ? xi ' ? 0 yi ? yi '=2 ,

? ? ? ? ? m

i ?1

xi ? yi

?

m i ?1

xi

?

m i ?1

yi

?0?

2?

m 2

?m

,故选

B.

13. 【解析】 21 13

∵ cos A ? 4 , cosC ? 5 ,

5

13

6

sin A ? 3 , sin C ? 12 ,

5

13

sin B ? sin ? A ? C? ? sin AcosC ? cos Asin C ? 63 ,
65

由正弦定理得: b ? a 解得 b ? 21 .

sin B sin A

13

14. 【解析】②③④

15. 【解析】 (1,3)

由题意得:丙不拿(2,3),

若丙(1,2),则乙(2,3),甲(1,3)满足,

若丙(1,3),则乙(2,3),甲(1,2)不满足,

故甲(1,3),

16. 【解析】 1? ln2

1 y ? ln x ? 2 的切线为: y ? x1 ? x ? ln x1 ?1 (设切点横坐标为 x1 )

y

?

ln ? x ?1?

的切线为:

y

?

1 x
x2 ? 1

?

ln ? x2

?1? ?

x2 x2 ? 1



?1

?? ?

x1

??? ln

? x1

1 x2 ? 1
? 1 ? ln ? x2

? 1?

?

x2 x2 ? 1

解得

x1

?

1 2

x2

?

?

1 2

∴ b ? ln x1 ?1 ? 1? ln 2 .
17. 【解析】⑴设?an? 的公差为 d , S7 ? 7a4 ? 28 ,



a4

?

4 ,∴ d

?

a4

? a1 3

? 1 ,∴

an

?

a1

?

(n ?1)d

?

n



∴ b1 ? ?lg a1? ? ?lg1? ? 0 , b11 ? ?lg ? a11 ? ?lg11? ? 1 , b101 ? ?lg ? a101 ? ?lg101 ? ? 2 .

⑵记 ?bn? 的前 n 项和为 Tn ,则 T1000 ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? b1000

? ?lg a1? ? ?lg a2 ? ? ??? ? ?lg a1000 ? .

当 0 ≤ lg an ? 1时, n ?1,2,???,9 ;

当1≤ lg an ? 2 时, n ?10,11,???,99 ;

当 2 ≤lg an ? 3 时, n ?100,101,???,999 ;

7

当 lg an ? 3 时, n ?1000 . ∴ T1000 ? 0 ? 9 ?1? 90 ? 2 ? 900 ? 3?1 ? 1893 .
18. 【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A ,

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? (0.30 ? 0.15) ? 0.55 .

⑵设续保人保费比基本保费高出 60% 为事件 B ,

P(B A) ? P(AB) ? 0.10 ? 0.05 ? 3 .

P( A)

0.55 11

⑶解:设本年度所交保费为随机变量 X .

*均保费 ? 0. 25a5 ? 0. 1a5? 0.a2?5 a0?. 3 0a. 1?75 a ?0. 1 ,a 1. 23
∴*均保费与基本保费比值为1.23 . 19. 【解析】⑴证明:∵ AE ? CF ? 5 ,
4 ∴ AE ? CF ,
AD CD
∴ EF ∥AC . ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴ AC ? BD ,
∴ EF ? BD , ∴ EF ? DH ,
∴ EF ? D?H . ∵ AC ? 6 , ∴ AO ? 3 ; 又 AB ? 5 , AO ? OB , ∴ OB ? 4 ,
∴ OH ? AE ? OD ? 1, AO
∴ DH ? D?H ? 3 ,

8

∴ OD? 2 ? OH 2 ? D ' H 2 ,

∴ D'H ? OH .

又∵ OH I EF ? H ,

∴ D'H ? 面 ABCD .

*⑷缤甲晗 H ? xyz .

B?5,0,0? , C ?1,3,0? , D '?0 ,0 ,3? , A?1,? 3,0? ,

uuur

uuur

uuur

AB ? ?4 ,3,0? , AD ' ? ??1,3,3? , AC ? ?0 ,6 ,0? ,

ur
设面 ABD' 法向量 n1 ? ? x ,y ,z ? ,



??n1 ? ??n1

? ?

AB ? 0 AD? ? 0



?4x ??? x

? ?

3y 3y

? ?

0 3z

?

0

,取

? ? ? ??

x y z

? ? ?

3 ?4 5





ur n1

?

? 3 ,?

4

,5?



uur
同理可得面 AD'C 的法向量 n2 ? ?3,0 ,1? ,

ur uur

∴ cos?

?

n1 ? n2 ur uur

?

9?5

?7 5,

n1 n2 5 2 ? 10 25

∴ sin? ? 2 95 .
25
20. 【解析】 ⑴当 t ? 4 时,椭圆 E 的方程为 x2 ? y2 ? 1 ,A 点坐标为 ??2 ,0? ,
43
则直线 AM 的方程为 y ? k ? x ? 2? .

? ? ? x2

联立

? ?

4

?

y2 3

?1

并整理得,

3 ? 4k2

x2 ?16k2x ?16k2 ?12 ? 0

?? y ? k ? x ? 2?

解得

x

?

?2



x

?

?

8k 2 3?

?6 4k 2

,则

AM

?

1? k2

8k 2 ? 6 ? 3 ? 4k2 ? 2

?

1?

k2

?

12 3 ? 4k 2

因为 AM ? AN ,所以 AN ?

1

?

? ??

?

1 k

?2 ? ?

?

12

3 ? 4 ? ???1?

1

2
?

k ??

?

1 ? k 2 ? 12 3k ? 4 k

因为 AM ? AN , k ? 0 ,

? ? 所以

1? k2

? 12 3 ? 4k 2

?

1?

k2

?

12 3k ?

4

,整理得

?k

?1?

4k2 ? k ? 4

?0,

k

9

4k2 ? k ? 4 ? 0 无实根,所以 k ?1.

所以 △AMN

的面积为 1 2

AM

2

?

1? 2 ??

1?1?

12 3?4

2
? ??

?

144 49



? ? ⑵直线 AM 的方程为 y ? k x ? t ,

? ? ? x2

联立

? ?

t

?

y2 3

?1

并整理得, 3 ? tk2 x2 ? 2t tk2x ? t2k2 ? 3t ? 0

? ? ?
?

y

?

k

x?

t

解得 x ? ?

t 或x??t

tk2 ?3 3 ? tk 2

t,

所以 AM ?

1? k2 ?t

tk2 ? 3 t ?
3 ? tk 2

t?

1? k2 ? 6 t 3 ? tk 2

所以 AN ?

1? k2 ? 6 t 3k ? t

k

因为 2 AM ? AN

所以 2 ?

1? k2

? 6t 3 ? tk2

?

1? k2 ? 6 t 3k ? t

,整理得, t ? 6k2 ? 3k . k3 ? 2

k

? ? 因为椭圆

E 的焦点在

x

轴,所以 t

? 3,即

6k 2 k3

? 3k ?2

? 3 ,整理得

k2 ?1 ?k ? 2?

k3 ? 2

?0

解得 3 2 ? k ? 2 .

21. 【解析】⑴证明: f ? x? ? x ? 2 ex
x? 2

∵当 x ? ???,? 2? ??2 , ? ?? 时, f ?? x? ? 0

∴ f ? x? 在 ??? ,? 2?和??2 , ? ?? 上单调递增

∴ x ? 0 时, x ? 2 ex ? f ?0?= ?1
x?2
∴?x ? 2?ex ? x ? 2 ? 0

? ? ? ? ex ? a x2 ? 2x ex ? ax ? a

⑵ g??x? ?

x4

由(1)知,当 x ? 0 时, f ? x? ? x ? 2 ? ex 的值域为 ??1,? ?? ,只有一解.
x?2

使得 t ? 2 ? et ? ?a , t ??0 ,2?
t?2

当 x ?(0,t) 时 g?(x) ? 0 , g(x) 单调减;当 x ?(t, ??) 时 g?(x) ? 0 , g(x) 单调增

记 k ?t ? ? et ,在 t ??0 ,
t?2

2? 时, k??t ? ?

et ?t ? 1? ?t ? 2?2

? 0 ,∴ k ?t ? 单调递增

10



h

?

a

?

?

k

?t

?

?

? ? ?

1 2

,e2 4

? ? ?



22. 【解析】(Ⅰ)证明:∵ DF ? CE

∴ Rt△DEF ∽Rt△CED

∴ ?GDF ? ?DEF ? ?BCF

∵ DE ? DG , CD ? BC

∴ DF ? CF DG BC
∴ △GDF ∽△BCF

∴ ?CFB ? ?DFG

∴ ?GFB ? ?GFC ? ?CFB ? ?GFC ? ?DFG ? ?DFC ? 90?

∴ ?GFB ? ?GCB ?180? .

∴B,C,G,F 四点共圆.

(Ⅱ)∵E 为 AD 中点, AB ?1,

∴ DG ? CG ? DE ? 1 , 2
∴在 Rt△GFC 中, GF ? GC ,

连接 GB , Rt△BCG≌Rt△BFG ,

∴ S四边形BCGF

?

2S△BCG

=2

?

1 2

?1?

1 2

=

1 2



23. 【解析】解:⑴整理圆的方程得 x2 ? y2 ?12 ?11 ? 0 ,

??2 ? x2 ? y2 由 ??? cos? ? x 可知圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ?12? cos? ?11 ? 0 .
??? sin? ? y
⑵记直线的斜率为 k ,则直线的方程为 kx ? y ? 0 ,

由垂径定理及点到直线距离公式知:

?6k ?
1? k2

? 25 ? ???

10 2

?2 ???



即 36k 2 ? 90 ,整理得 k2 ? 5 ,则 k ? ? 15 .

1? k2 4

3

3

24. 【解析】解:⑴当 x ? ? 1 时, f ? x? ? 1 ? x ? x ? 1 ? ?2x ,若 ?1 ? x ? ? 1 ;

2

2

2

2

当 ? 1 ≤ x ≤ 1 时, f ? x? ? 1 ? x ? x ? 1 ?1? 2 恒成立;

2

2

2

2

11

当 x ? 1 时, f ? x? ? 2x ,若 f ? x? ? 2 , 1 < x ?1 .

2

2

综上可得, M ? ?x | ?1 ? x ? 1? .

? ?? ? ⑵当 a ,b ???1,1? 时,有 a2 ?1 b2 ?1 ? 0 ,

即 a2b2 ?1 ? a2 ? b2 , 则 a2b2 ? ?2ab ?1 ? a2 ? 2ab ? b2 ,
则 ?ab ? 1?2 ? ?a ? b?2 ,

即 a ? b ? ab ?1 ,

证毕.

12


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