同济 汽车振动 机械振动 PPT第二章+单自由度系..

发布于:2021-07-30 19:00:31

2.3.3 强迫振动的单位谐函数求解法

&& & mx + cx + kx = fc ( t ) fc ( t ) = e = cosωt + i sinωt
iωt
激励 f c (t ) 振动系统 H(ω) 响应 xc (t )

频响函数

xc (t) H (ω) = fc (t)

频响函数:复数简谐激励时,复响应和复激励之比。 频响函数:复数简谐激励时,复响应和复激励之比。

?xc ( t ) = H (ω) e ? xc ( t ) = iωH (ω) eiωt ?& ? &&c ( t ) = ?ω2H (ω) eiωt ?x
iωt

H (ω) =

1 k ? mω2 + icω

a + bi H (ω) = = H (ω) e?iψ c + di

H (ω) =
H (ω) =

a +b
2

2 2

c +d
2

ψ = ?arctan

Im?H (ω) ? ? ?

Re ?H (ω) ? ? ?

1 k ? mω2 + icω

c = 2nm = 2ζωnm = 2ζ ω n k k k

1k 1k ?iψ H (ω) = = = H (ω) e 2 2 2 1? ω ωn + i2ζ ω ωn 1? λ + i2ζλ

1 k H (ω) = 2 2 2 (1? λ ) + ( 2ζλ)
幅频特性

2ζλ ψ = arctan 1? λ2
相频特性
iωt

fc ( t ) = Fe 0
?iψ iωt

xc ( t ) = H (ω) e F0e = F0 H (ω) e
f ( t) = F sinωt 0
x ( t ) = F0 H (ω) sin(ωt ?ψ ) = B0

ψ i(ωt ? )

(1? λ ) + ( 2ζλ)
2 2

2

sin(ωt ?ψ )

例:如图所示振系 作强迫振动,水* 刚杆的质量不计。 求系统稳态振动响 应。
解:

&& & mx + 4cx + 9kx = 3F0 sinωt
iωt iωt

&& + 4cx + 9kx = eiωt & fc ( t ) = e , c ( t ) = H (ω) e ?mx x 1 H (ω) = 9k ? mω2 + i4cω

若 c ( t ) = 3Feiωt有 c ( t ) = 3F H (ω) eiωt f x 0 0
3F iωt 0 xc ( t ) = e = 2 9k ? mω + i4cω 3F0 e
i(ωt? ) ψ

( 9k ? mω

2 2

)

+16c2ω2

4c 4cω ψ = arctan 9k ? mω2

Q实际激励为 F sinωt 3 0
x ( t) = 3F 0

( 9k ? mω

2 2

)

+16c2ω2

sin (ωt ?ψ )

4cω ψ = arctan 2 9k ? mω

M

m F0 ωt

f (t )

x

例:—台电动机安装在两根槽钢做成的 简支梁上,求解由于运转时转子的偏心 引起电机和梁组成的系统的强迫振动。 解:
离心惯性力F0 = meω2在垂向的分力,即为系统的激振力

f ( t ) = F sinωt = meω2 sinωt 0

&& + cx + kx = meω2 sinωt & Mx

&& & fc ( t ) = e 则 = H (ω) e ? Mx + cx + kx = e x
iωt iωt

iωt

1k ?iψ 2ζλ H (ω) = = H (ω) e ψ = arctan 2 1? λ + i2ζλ 1? λ2
若fc ( t ) = meω e 有xc ( t ) = meω H (ω) e = meω H (ω) e
2 iωt 2 iωt 2 i(ωt ? ) ψ

Q实 激 为 ω2 sinωt 际 励 me
x ( t ) = meω2 H (ω) sin(ωt ?ψ ) =
2

meω2 k (1? λ2 )2 + ( 2ζλ)
2

sin(ωt ?ψ )

me me λ x ( t) = sin(ωt ?ψ ) = β sin(ωt ?ψ ) M (1? λ2 )2 + ( 2ζλ) 2 M

λ 1?β →0; ψ ≈ 0 λ 1? β →1; ψ ≈ π π λ ≈1 ? β → βmax = 1 2ζ;ψ = 共振现象
2

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2.3.4 支座简谐运动引起的的强迫振动

f=1.001Hz f1=1.6Hz f2=1Hz f3=0.63Hz

&& & & mx + cx + kx = cx f + kx f && + 2ζωn x + ω x = 2ζωn x f + ω x f & & x
2 n 2 n

xf ( t ) = asinωt

设 xf ( t ) = e

iωt

x ( t ) = H (ω) e

iωt

ω + i2ζωnω H (ω) = 2 2 ωn ?ω + i2ζωnω
2 n

H (ω) =

(1? λ ) + ( 2ζλ)
2 2

1+ ( 2ζλ) 2ζλ3

2 2

ψ = arctan

1? λ + ( 2ζλ)
2

2

xf = ae

iωt

x( t) = a
x( t) = a
位移传递率

(1? λ ) + ( 2ζλ)
2 2

1+ ( 2ζλ)

2 2

e

i (ωt ? ) ψ

x f = a sinωt

(1? λ ) + ( 2ζλ)
2 2

1+ ( 2ζλ)

2 2

sin(ωt ?ψ )

B=a

(1? λ ) + ( 2ζλ)
2 2

1+ ( 2ζλ)

2 2

1+ ( 2ζλ) B β= = 2 2 2 a (1? λ ) + ( 2ζλ)
2

λ

1 ? β ≈1 ψ ≈ 0
λ > 2 ? β <1

λ ≈1?共振 λ = 1 ψ = arctan1 2ζ 时
λ = 2 ? β= 1

例:车辆在波形道路 上行驶,可简化为如 图所示单自由度系统。 满载时质量为m1=1000 kg,空载时为m2=250 kg,悬挂弹簧的刚度 为k =350 kN/m, 路面呈正弦波形,可表示为

l

xl

l

2π x f = a sin xl l

车速为v =100 km/h,满载时阻尼比 ζ1 为0.4。 求满载和空载时的振幅比。

l

2π x f = a sin xl = a sin2πnxl l
l

xl

xl = vt

空间频率通过车速转化为时间频率

v x f = a sin2π t = a sin2π ft = a sinωt l v

f = = vn l

c c ζ= = 2 mk cc

v 100 f = = = 5.56Hz l 3.6 ×5

l

ζ2 = ζ1

m 1 = 0.8 m2

x

l
f f λ1 = = 1.87 λ2 = = 0.93 fn1 fn2

1 k 1 350000 fn1 = = = 2.98Hz 2π m 2π 1000 1
fn2 =

β=

1 k 1 350000 = = 5.96Hz 2π m2 2π 250 3.238 2 β1 = = 0.618 1+ ( 2ζλ) 8.473
2 2 2

(1? λ ) + ( 2ζλ) β = 3.238 = 1.198 2 2.256

β1 0.618 1 = = = 0.516 β2 1.198 1.939

结果讨论??

2.3.5 振动隔离 振动隔离(Vibration isolation)
机器设备运转时发生的剧烈振动,不但会引起机 器本身结构或部件的破坏、缩短寿命、降低效率等不 利影响,而且会影响周围的精密仪器设备不能正常工 作或降低其灵敏度和精确度。由振动产生的噪音对人 体健康也很有害。因此必须有效地隔离振动。 根据振源的不同,一般分为两种性质不同的隔振。 一种称为主动隔振,一种称为被动隔振。

2.3.5.1 主动 主动(active) 隔振

若机器本身是振源,使它与地基隔开来,以减少 它对周围的影响,称为主动隔振。例如把机器安装 在较大的基础上,在基础与地基之间设置若干橡胶 隔振器就是常用的一种主动隔振措施。

主动隔振的效果用主动隔振系数(力传递率)来表示 主动隔振系数(力传递率)

隔振后传到基础上的力幅 ηa = 未隔振时传到基础上的力幅

& = kBsin (ωt ?ψ ) + cωBsin (ωt ?ψ + 90o ) f ( t ) = kx + cx

f ( t ) = F sin(ωt ?ψ +γ ) T
2 2

F = T

( kB) + ( cωB) = kB 1+ ( 2ζλ)
2

B=

F0 k (1? λ2 )2 + ( 2ζλ)
2

主动隔振系数

1+ ( 2ζλ) F T ηa = = 2 2 2 F (1? λ ) + ( 2ζλ) 0
2

2.3.5.2 被动 被动(passive) 隔振
若振源来自地基运动,如前面 讲过的支承运动引起的振动,为了 使外界振动少传到系统中来,采取 隔振措施,称为被动隔振。 被动隔振的效果用被动隔振系数 (位移传递率)表示。

隔振后机器的振幅 ηp = 支座运动的振幅
被动隔振系数
2

与上节中的位移传 递率意义完全一样

1+ ( 2ζλ) B ηp = = 2 2 2 a (1? λ ) + ( 2ζλ)

η

λ > 2 ?η < 1 才有隔振效果,阻尼比越小,隔振效果越好。
隔 效 ε = (1?η) ×100% 振 率

发动机悬置( 发动机悬置(mounting)初 初 步设计
刚度选择

f ( t ) = F 0 sin ω t

λ > 2时才有隔振效果 ω k ω ωn< 即 <
2 m 2
阻尼比选择 阻尼比*闲。蚋粽裥Ч虾谩5赡艿贾鹿舱袂*振 幅过大。 共振区选择 发动机转速区段:起动、怠速、加速过渡、常用工 作转速区 。一般希望共振区发生在起动阶段,也就是悬 置系统具有较低的固有频率。

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2.3.6 测振传感器的基本原理

&& & & mx + cx + kx = cxb + kxb
相对位移z = x ? xb

&& && & mz + cz + kz = ?mxb
设待测物体的位移xb = Y sinωt

&& + cz + kz = mω2Y sinωt mz &
2ζλ ψ = arctan 1? λ2

Z λ2 z = Z sin (ωt ?ψ ) ? = 2 Y (1? λ2 )2 + ( 2ζλ)

位移传感器 (低固有频率) 低固有频率) 低固有频率 加速度传感器 (高固有频率) 高固有频率) 高固有频率

λ > 2.5时Z Y →1故相对运动振幅*似等于待测物体振幅
2 2 λ →0时Z ≈ λ2Y = ω2Y ωn = &&b ωn x

故相对位移正比于待测物体加速度

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